Projet Chamois

1 Chargement des librairies

library(tidyverse)
library(corrplot)
library(lmerTest)
library(ade4)
library(splines)
library(car)
library(plotly)
library(DT)
library(Hmisc)
library(kableExtra)
library(knitr)

2 Import et description du jeu de données

2.1 Import des données

2.2 Description des données

2.2.1 Résumé des données

## 'data.frame':    1328 obs. of  7 variables:
##  $ id    : Factor w/ 217 levels "101","105","106",..: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
##  $ year  : int  1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 ...
##  $ fec   : int  1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ...
##  $ coh   : int  1995 1995 1995 1995 1995 1995 1995 1995 1995 1995 ...
##  $ anmark: int  1998 1998 1998 1998 1998 1998 1998 1998 1998 1998 ...
##  $ pds   : num  NA NA NA NA NA NA NA NA NA NA ...
##  $ ydth  : int  2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2008 ...
## cham 
## 
##  7  Variables      1328  Observations
## --------------------------------------------------------------------------------
## id 
##        n  missing distinct 
##     1328        0      217 
## 
## lowest : 101 105 106 107 108, highest: 82  87  9   93  R1 
## --------------------------------------------------------------------------------
## year 
##        n  missing distinct     Info     Mean      Gmd      .05      .10 
##     1328        0       27    0.998     2006    6.831     1995     1997 
##      .25      .50      .75      .90      .95 
##     2001     2006     2010     2014     2015 
## 
## lowest : 1991 1992 1993 1994 1995, highest: 2013 2014 2015 2016 2017
## --------------------------------------------------------------------------------
## fec 
##        n  missing distinct     Info      Sum     Mean      Gmd 
##     1328        0        2    0.716      806   0.6069   0.4775 
## 
## --------------------------------------------------------------------------------
## coh 
##        n  missing distinct     Info     Mean      Gmd      .05      .10 
##     1328        0       33    0.997     1996     7.75     1985     1987 
##      .25      .50      .75      .90      .95 
##     1991     1997     2001     2005     2007 
## 
## lowest : 1977 1978 1980 1982 1983, highest: 2007 2009 2010 2011 2014
## --------------------------------------------------------------------------------
## anmark 
##        n  missing distinct     Info     Mean      Gmd      .05      .10 
##     1328        0       24    0.996     2002    6.288     1993     1994 
##      .25      .50      .75      .90      .95 
##     1998     2002     2006     2009     2011 
## 
## lowest : 1991 1992 1993 1994 1995, highest: 2010 2011 2012 2014 2015
## --------------------------------------------------------------------------------
## pds 
##        n  missing distinct     Info     Mean      Gmd      .05      .10 
##     1100      228       92    0.999    19.89     5.25     11.5     12.0 
##      .25      .50      .75      .90      .95 
##     16.9     21.1     23.3     25.0     26.0 
## 
## lowest :  7.8 10.5 11.0 11.1 11.3, highest: 26.5 26.8 27.0 28.3 28.4
## --------------------------------------------------------------------------------
## ydth 
##        n  missing distinct     Info     Mean      Gmd      .05      .10 
##      920      408       22    0.977     2006    4.908     1998     2000 
##      .25      .50      .75      .90      .95 
##     2003     2007     2008     2012     2014 
## 
## lowest : 1994 1996 1997 1998 1999, highest: 2012 2013 2014 2015 2016
## --------------------------------------------------------------------------------

2.2.2 Histogramme nombre d’individus par année

2.2.3 Histogramme nombre d’années de suivi

2.2.4 Présentation des données

Le jeu de données est constitué de 7 variables et 1328 observations. Chaque observation correspond à l’information de fécondité associée à une femelle chamois et relative à une année donnée. Le jeu de données résume les suivis réalisés entre 1991 et 2017 sur 27 années. D’après l’histogramme présentant le nombre d’individus suivis chaque année, les années entre 2004 et 2006 sont les années pour lesquelles le nombre de chamois suivis a été le plus important. 217 femelles chamois ont été suivies au total. Le nombre d’années de suivi varie selon les femelles entre 1 et 16 années (cf histogramme nombre d’années de suivi).

2.3 Prétraitement du jeu de données

2.3.1 Elimination des données aberrantes

Les chamois observés après leur mort ou avant leur naissance sont retirés du jeu de données.

cham <- cham %>% 
  filter(year<=ydth | is.na(cham$ydth)) %>%
  filter(year>=coh)

2.3.2 Création des variables âge (age),longévité (long) et âge au moment du marquage (agemark)

cham2 <- cham %>%
  summarise(cham, age= year-coh, long=ydth-coh, agemark=anmark-coh)

3 Question 1 : Lien fécondité annuelle et âge des femelles

3.1 Représentation graphique des données

3.1.1 Représentation par classe d’âge

3.1.2 Représentation sans grouper par classe d’âge

3.1.2.1 Utilisation de la fonction jitter

3.1.2.2 Utilisation de la fonction geom_count

Graphiquement, une augmentation de l’âge des chamois semble engendrer une diminution de la fécondité des chamois avec une inflexion de la courbe observée autour de 10 ans.

3.2 Analyse statistique du lien entre fécondité annuelle et l’âge des femelles

3.2.1 Modèles de régression linéaire généralisé avec effets aléatoires

3.2.1.1 Premier modèle testé glm1

Le premier modèle appliqué est un modèle glm qui utilise la fonction de lien binomial afin de prendre en compte le fait que la variable réponse soit une variable binomiale. La variable “id” est désignée comme variable aléatoire pour tenir compte du fait que les observations sont répétées sur les mêmes individus sur plusieurs années.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ age + (1 | id)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1761.9   1777.4   -877.9   1755.9     1314 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.6385 -1.1378  0.6862  0.7921  1.0431 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.2088   0.4569  
## Number of obs: 1317, groups:  id, 217
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  0.58495    0.15766   3.710 0.000207 ***
## age         -0.01789    0.01565  -1.143 0.253095    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##     (Intr)
## age -0.903

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1762. Avec ce modèle, la dispersion calculée comme le ratio variance/df est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. On calcule en utilisant la fonction inverse de logit le coefficient qui permet d’exprimer la fécondité annuelle (en prenant en compte la fonction de lien) en fonction de l’âge. Il est 1.805% moins vraisemblable que les chamois aient un petit lorsque leur âge augmente d’un an mais la p value est de 0.25 donc l’impact de l’âge sur la fécondité annuelle via ce premier modèle n’est pas significatif.

3.2.1.2 Second modèle testé glm1q

Un modèle quadratique est testé par la suite pour prendre en compte la tendance de la ligne de régression observée sur les graphiques qui présente une inflexion autour de 10 ans.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ age + I(age^2) + (1 | id)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1674.2   1694.9   -833.1   1666.2     1313 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.1557 -1.0113  0.5808  0.7269  2.8480 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.2407   0.4906  
## Number of obs: 1317, groups:  id, 217
## 
## Fixed effects:
##              Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept) -2.076697   0.338088  -6.142 8.12e-10 ***
## age          0.642350   0.077437   8.295  < 2e-16 ***
## I(age^2)    -0.033970   0.003999  -8.495  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##          (Intr) age   
## age      -0.948       
## I(age^2)  0.875 -0.977
## optimizer (Nelder_Mead) convergence code: 0 (OK)
## Model failed to converge with max|grad| = 0.00435823 (tol = 0.002, component 1)
## Model is nearly unidentifiable: very large eigenvalue
##  - Rescale variables?

La variable âge est centrée normée car le modèle n’arrive pas à converger.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ age_scale + I(age_scale^2) + (1 | id)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1674.2   1694.9   -833.1   1666.2     1313 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.1557 -1.0113  0.5808  0.7269  2.8481 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.2407   0.4906  
## Number of obs: 1317, groups:  id, 217
## 
## Fixed effects:
##                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)     0.95576    0.09371  10.199   <2e-16 ***
## age_scale       0.09431    0.06654   1.417    0.156    
## I(age_scale^2) -0.53218    0.06267  -8.492   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr) ag_scl
## age_scale    0.146       
## I(ag_scl^2) -0.654 -0.168

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1674. Avec ce modèle, la dispersion calculée est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. L’AIC de ce modèle quadratique < l’AIC du modèle glm1 linéaire donc le modèle quadratique est plus adapté comme attendu graphiquement. Une observation des coefficients associés aux termes âge et âge^2 indique que le terme “âge” n’est pas significatif dans la prédiction de la variable réponse (p value = 0.16) alors que la p value associée au terme “âge^2” < 0.01. La fonction carré est donc testée.

3.2.1.3 Troisième modèle testé glm1c

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ I(age_scale^2) + (1 | id)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1674.2   1689.7   -834.1   1668.2     1314 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.1199 -1.0427  0.5836  0.7341  3.0118 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.2536   0.5036  
## Number of obs: 1317, groups:  id, 217
## 
## Fixed effects:
##                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)     0.93801    0.09350   10.03   <2e-16 ***
## I(age_scale^2) -0.51897    0.06283   -8.26   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr)
## I(ag_scl^2) -0.647

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1674. Avec ce modèle, la dispersion calculée est 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. Il est 68.03% moins vraisemblable que les chamois aient un petit lorsque l’âge augmente d’une unité puis qu’on applique la fonction carré (p value < 0.05).

3.2.1.4 4ème modèle testé glm1d

On rajoute la variable “year” comme variable aléatoire pour prendre également en compte le fait que les mêmes individus ont été suivis sur les mêmes années.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ I(age_scale^2) + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1640.9   1661.6   -816.4   1632.9     1313 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.2022 -0.8931  0.5182  0.6924  5.6258 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.2863   0.5351  
##  year   (Intercept) 0.3040   0.5514  
## Number of obs: 1317, groups:  id, 217; year, 27
## 
## Fixed effects:
##                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)     1.01678    0.14911   6.819 9.17e-12 ***
## I(age_scale^2) -0.56448    0.06598  -8.555  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr)
## I(ag_scl^2) -0.431

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1641. Avec ce modèle, la dispersion calculée est de 1.2 donc il n’y a pas de surdispersion observée. Il est 75.853% moins vraisemblable que les chamois aient un petit lorsque l’âge augmente d’une unité puis qu’on applique la fonction carré (p value < 0.05).

3.2.2 Conclusions

npar AIC BIC logLik deviance Chisq Df Pr(>Chisq)
glm1 3 1761.863 1777.412 -877.9314 1755.863 NA NA NA
glm1c 3 1674.160 1689.710 -834.0802 1668.160 87.702339 0 NA
glm1q 4 1674.163 1694.895 -833.0813 1666.163 1.997873 1 0.1575201
glm1d 4 1640.892 1661.624 -816.4458 1632.892 33.270918 0 NA

Le modèle glm1d présente le plus faible AIC. La variable “âge” a un effet significatif sur la fécondité annuelle via ce modèle ce qui n’est pas surprenant car graphiquement la ligne de régression présentait une courbe avec une diminution de la fécondité pour des âges élevés.

4 Question 2 : Variation de la fécondité annuelle en fonction du temps

4.1 Représentation graphique des données

4.1.1 Représentation graphique par année

4.1.2 Représentation graphique sans grouper par année

Graphiquement, la variable âge ne semble pas avoir d’effet sur la fécondité annuelle des chamois malgré le fait que l’âge moyen de la population augmente sensiblement avec les années.

4.2 Analyse statistique du lien entre fécondité annuelle et années

4.2.1 Modèles de régression linéaire généralisé avec effets aléatoires

Le premier modèle appliqué est un modèle glm qui utilise la fonction de lien binomial afin de prendre en compte le fait que la variable réponse soit une variable binomiale. La variable “id” est désignée comme variable aléatoire pour tenir compte du fait que les observations sont répétées sur les mêmes individus sur plusieurs années. Afin que le modèle converge, la variable “année” est centrée normée.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ year_scale + (1 | id)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1763.1   1778.7   -878.6   1757.1     1314 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.6594 -1.1429  0.6860  0.7915  1.0701 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.2138   0.4623  
## Number of obs: 1317, groups:  id, 217
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  0.42246    0.06787   6.225 4.83e-10 ***
## year_scale  -0.01480    0.06540  -0.226    0.821    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##            (Intr)
## year_scale 0.002

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1763. Avec ce modèle, la dispersion calculée comme le ratio variance/df est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. D’après la p-value > 0.82, il n’y a pas d’effets significatifs de la variable “year” sur la fécondité annuelle comme supposé préalablement par les représentations graphiques. La variable “âge” n’ayant pas d’effets significatifs sur la fécondité annuelle des chamois, il n’y a pas d’utilité à tester des modèles avec effets additifs ou multiplicatifs en utilisant la variable année.

5 Question 3 : Lien entre fécondité totale et longévité des animaux

5.1 Représentation graphique des données

5.1.1 Représentation sans prendre en compte le nombre d’années de suivi

5.1.2 Prise en compte du biais apporté par le nombre d’années de suivi

Tous les chamois n’ont pas été marqués au même âge et donc n’ont pas été suivis le même nombre d’année comme le montre l’histogramme ci-dessous.

Le nombre d’années de suivi n’est donc pas égal à la longévité des individus comme illustré par le graphique ci-dessous.

Dans un premier temps, l’impact du nombre d’années de suivi sur la fécondité totale des chamois est vérifié.

Comme attendu, la fécondité totale augmente avec le nombre d’années de suivi. Or, il est difficile de savoir si la période plus longue de suivi est due au fait que l’individu ait été marqué précocement ou que l’individu a vécu plus longtemps.

Pour pouvoir répondre à la question initiale, qui consiste à vérifier s’il y a un lien entre la fécondité annuelle et la longévité, il faut pouvoir comparer des individus suivis sur le même nombre d’année et si possible sur le maximum d’années possibles.

En s’appuyant sur le graphique ci-dessous, l’analyse statistique va être réalisée sur un échantillon de la population suivie à savoir tous les individus marqués à 3 ans qui constituent un échantillon > 30 individus et peut permettre d’étudier l’impact de la longévité sur la fécondité totale.

On sait que la variable “année” n’a pas d’impact sur la fécondité annuelle des chamois donc le fait que les chamois aient été suivis pendant des périodes différentes n’a pas d’impact. Il faut par contre vérifier au préalable que le fait d’étudier la fécondité de la population des individus marqués à 3 ans est représentatif de la population totale de chamois.

r <- tapply(cham2$fec, cham2$agemark, mean)
r
##         0         1         2         3         4         5         6         7 
## 0.5784314 0.6170213 0.6818182 0.6699029 0.6346154 0.5725806 0.6608696 0.6477273 
##         8         9        10        11        12        13        14        15 
## 0.6071429 0.5740741 0.5573770 0.6065574 0.5483871 0.5454545 0.5000000 1.0000000 
##        16        17        21 
## 0.2000000 0.0000000 0.0000000
Age3 <- cham2[cham2$agemark==3,]
Ageautre <- cham2[cham2$agemark!=3,]
mean(Age3$fec)
## [1] 0.6699029
mean(Ageautre$fec)
## [1] 0.6004942
#Voir avec Karim quel test

5.1.3 Création du sous-échantillon pour répondre à la question

cham3 <- cham_id %>% 
  filter(agemark==3)

5.1.4 Représentation graphique de la sous-population

5.2 Analyse statistique du lien entre la fécondité annuelle et la longévité

5.2.1 Tests de modèles de régression lineaire généralisé avec effets aléatoires

5.2.1.1 First

Plusieurs modèles ont été testés => voir avec . Est ce qu’une somme de variables binaires = loi de poisson? Besoin d’une glm ici?

lm1 <-lm(feconditetotale~long, data = cham3)
summary(lm1)
## 
## Call:
## lm(formula = feconditetotale ~ long, data = cham3)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.9408 -1.1635  0.2819  1.0436  3.5826 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -2.52025    0.64088  -3.932 0.000275 ***
## long         0.74610    0.06406  11.648 1.86e-15 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.759 on 47 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7427, Adjusted R-squared:  0.7372 
## F-statistic: 135.7 on 1 and 47 DF,  p-value: 1.863e-15
plot(lm1)

glmp <- glm(data=cham3, feconditetotale~long, family="poisson")
summary(glmp)
## 
## Call:
## glm(formula = feconditetotale ~ long, family = "poisson", data = cham3)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -2.3726  -0.5124  -0.1843   0.6590   1.3798  
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept) -0.33487    0.22434  -1.493    0.136    
## long         0.17122    0.01803   9.494   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 133.056  on 48  degrees of freedom
## Residual deviance:  37.754  on 47  degrees of freedom
## AIC: 186.32
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4
lm2 <- lm(feconditetotale~log(long), data = cham3)
summary(lm2)
## 
## Call:
## lm(formula = feconditetotale ~ log(long), data = cham3)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.3986 -1.5727  0.0741  1.2620  5.0012 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -7.3397     1.3263  -5.534 1.36e-06 ***
## log(long)     5.5322     0.6116   9.045 7.38e-12 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.095 on 47 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6351, Adjusted R-squared:  0.6274 
## F-statistic: 81.81 on 1 and 47 DF,  p-value: 7.377e-12
plot(lm2)

6 Question 4: Lien entre fécondité annuelle et longévité des animaux

6.1 Représentation graphique des données

L’allure concave des lignes de régression illustre une augmentation de la fécondité annuelle avec la longévité jusqu’à atteindre un maximum autour de 13-14 ans puis une diminution de la fécondité annuelle lorsque la longévité est > 14 ans.

6.2 Analyse statistique du lien entre fécondité annuelle et longévité des femelles

6.2.1 Modèles de régression lineaire généralisé avec effets aléatoires

6.2.1.1 Premier modèle

Le premier modèle appliqué est un modèle glm qui utilise la fonction de lien binomial afin de prendre en compte le fait que la variable réponse soit une variable binomiale. La variable “id” est désignée comme variable aléatoire pour tenir compte du fait que les observations sont répetées sur les mêmes individus sur plusieurs années.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ long_scale + (1 | id)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1218.0   1232.5   -606.0   1212.0      906 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.7916 -1.0634  0.6517  0.7850  1.2047 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.3199   0.5656  
## Number of obs: 909, groups:  id, 163
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  0.38681    0.08681   4.456 8.36e-06 ***
## long_scale   0.04500    0.08512   0.529    0.597    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##            (Intr)
## long_scale 0.095

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle = 1218. Avec ce modèle, la dispersion calculée comme le ratio variance/df est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. Avec ce modèle, la p value associé à l’impact de la variable “longévité” sur la fécondité annuelle est de 0.6 donc l’effet de la longévité sur la variable réponse n’est pas significatif.

6.2.1.2 Second modèle

On applique un modèle quadratique pour prendre en compte la tendance de la ligne de régression observée sur les graphiques qui présente une inflexion autour de 13-14 ans.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ long_scale + I(long_scale^2) + (1 | id)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1209.3   1228.6   -600.7   1201.3      905 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.7429 -1.0969  0.6542  0.7821  1.4323 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.2492   0.4992  
## Number of obs: 909, groups:  id, 163
## 
## Fixed effects:
##                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)      0.60021    0.10574   5.676 1.38e-08 ***
## long_scale       0.03059    0.08331   0.367  0.71352    
## I(long_scale^2) -0.20676    0.06313  -3.275  0.00106 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr) lng_sc
## long_scale   0.026       
## I(lng_sc^2) -0.612  0.065

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1209. Avec ce modèle, la dispersion calculée est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. L’AIC de ce modèle quadratique < l’AIC du modèle linéaire donc le modèle quadratique est plus adapté. Une observation des coefficients associés aux termes longévité et longévité^2 indique que le terme “longévité” n’est pas significatif dans la prédiction de la variable réponse (p value = 0.71) alors que la p value associée au terme “longévité^2” < 0.01. La fonction carré est donc testée.

6.2.1.3 Troisième modèle

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ I(long_scale^2) + (1 | id)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1207.5   1221.9   -600.7   1201.5      906 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.7388 -1.0973  0.6529  0.7774  1.3841 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.2565   0.5064  
## Number of obs: 909, groups:  id, 163
## 
## Fixed effects:
##                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)      0.59931    0.10618   5.644 1.66e-08 ***
## I(long_scale^2) -0.20842    0.06328  -3.294 0.000989 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr)
## I(lng_sc^2) -0.616

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1207. Avec ce modèle, la dispersion calculée est 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. Il est 23.173% moins vraisemblable que les chamois aient un petit lorsque la longévité augmente d’une unité puis qu’on applique la fonction carré (p value < 0.01).

Segmentation => voir avec Karim

cham_long1 <- cham2[cham2$long<15,]
cham_long2 <- cham2[cham2$long>=15,]

plot16 <- ggplot(cham_long1, aes(x=long, y=fec)) +
    geom_count() + 
    labs(title = "Fécondité en fonction de la longevite",x="Longevite", y="Fécondité")+
    geom_smooth()+
    theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)); plot16
## Warning: Removed 408 rows containing non-finite values (`stat_sum()`).
## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula = 'y ~ x'
## Warning: Removed 408 rows containing non-finite values (`stat_smooth()`).

glm12 <- glmer(fec ~ long + (1| id),data=cham_long1, family = binomial)
summary(glm12)
## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ long + (1 | id)
##    Data: cham_long1
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##    789.0    802.2   -391.5    783.0      585 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.6864 -1.0755  0.6737  0.8230  1.1503 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.1568   0.3959  
## Number of obs: 588, groups:  id, 120
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)   
## (Intercept) -0.66433    0.39918  -1.664  0.09606 . 
## long         0.09835    0.03665   2.684  0.00728 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##      (Intr)
## long -0.971
Anova(glm12)
Chisq Df Pr(>Chisq)
long 7.201696 1 0.0072835 
plot17 <- ggplot(cham_long2, aes(x=long, y=fec)) +
    geom_count() + 
    labs(title = "Fécondité en fonction de la longevite",x="Longevite", y="Fécondité")+
    geom_smooth()+
    theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)); plot17
## Warning: Removed 408 rows containing non-finite values (`stat_sum()`).
## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula = 'y ~ x'
## Warning: Removed 408 rows containing non-finite values (`stat_smooth()`).

glm13 <- glmer(fec ~ long + (1| id),data=cham_long2, family = binomial)
summary(glm13)
## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ long + (1 | id)
##    Data: cham_long2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##    418.9    430.3   -206.5    412.9      318 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.9648 -1.0836  0.5871  0.7880  1.2014 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.3949   0.6284  
## Number of obs: 321, groups:  id, 43
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)   
## (Intercept)  4.35885    1.43312   3.041  0.00235 **
## long        -0.23441    0.08423  -2.783  0.00539 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##      (Intr)
## long -0.994
Anova(glm13)
Chisq Df Pr(>Chisq)
long 7.744764 1 0.0053868

6.2.2 Conclusions

#Ajouter l’anova# Le modèle avec la fonction carré présente le plus faible AIC. La variable “longévité” a un effet significatif sur la fécondité annuelle via ce modèle ce qui n’est pas surprenant car graphiquement la ligne de régression présentait une courbe avec une diminution de la fécondité pour des longévités élevées.

7 Question 5: Lien entre fécondite totale et poids

7.1 Représentation graphique des données

7.1.1 Vérification de la comparabilité des poids selon les âges de capture et élimination des valeurs outliers

cham_pds <- cham_id %>% 
  drop_na(pds)

Des valeurs éloignées de la moyenne sont observées. Les outliers sont exclus via une boucle “which”.

out=NA

while (length(out)>0) {
(boxplot(cham_pds$pds))
out <- boxplot.stats(cham_pds$pds)$out
cham_pds <- cham_pds%>%
  filter(pds>max(out))

}

Comment faire les mesures stats avec populations comparables??=> voir avec Karim

7.1.2 Représentation graphique de la fécondité totale en fonction du poids

plot19 <- ggplot(cham_pds, aes(x=pds, y=feconditetotale)) + 
    geom_point(color="blue", fill=rgb(0.1,0.4,0.5,0.7)) + 
  
    geom_smooth();plot19

7.2 Analyse statistique du lien entre fécondite annuelle et poids des femelles

7.2.1 Modèles de régression linéaire généralisé avec effets aléatoires

7.2.1.1 First

lm14 <- lm(feconditetotale ~ pds,data=cham_pds)
summary(lm14)
## 
## Call:
## lm(formula = feconditetotale ~ pds, data = cham_pds)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.2036 -2.0996 -0.9763  1.7887  9.9120 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept)  2.27913    2.42815   0.939    0.350
## pds          0.03852    0.10792   0.357    0.722
## 
## Residual standard error: 2.534 on 111 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.001146,   Adjusted R-squared:  -0.007852 
## F-statistic: 0.1274 on 1 and 111 DF,  p-value: 0.7218
lm15 <- lm(long ~ pds,data=cham_pds)
summary(lm15)
## 
## Call:
## lm(formula = long ~ pds, data = cham_pds)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -8.1971 -2.3662  0.0905  2.3738  7.8029 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -0.7902     3.2629  -0.242 0.809091    
## pds           0.5708     0.1450   3.936 0.000145 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.405 on 111 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1225, Adjusted R-squared:  0.1146 
## F-statistic: 15.49 on 1 and 111 DF,  p-value: 0.0001447

8 Question 5: Lien entre longévité et poids

8.1 Représentation graphique des données

8.1.1 Représentation graphique de la longévité en fonction du poids

8.2 Analyse statistique du lien entre longévité et poids des femelles

8.2.1 Modèles de régression linéaire généralisé avec effets aléatoires

La variable longévité semble présenter une distribution normale donc on applique un modèle linéaire lm.

## 
## Call:
## lm(formula = long ~ pds, data = cham_pds)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -8.1971 -2.3662  0.0905  2.3738  7.8029 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -0.7902     3.2629  -0.242 0.809091    
## pds           0.5708     0.1450   3.936 0.000145 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.405 on 111 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1225, Adjusted R-squared:  0.1146 
## F-statistic: 15.49 on 1 and 111 DF,  p-value: 0.0001447

## 
## Call:
## glm(formula = long ~ pds, data = cham_pds)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -8.1971  -2.3662   0.0905   2.3738   7.8029  
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  -0.7902     3.2629  -0.242 0.809091    
## pds           0.5708     0.1450   3.936 0.000145 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for gaussian family taken to be 11.59731)
## 
##     Null deviance: 1467.0  on 112  degrees of freedom
## Residual deviance: 1287.3  on 111  degrees of freedom
## AIC: 601.6
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 2

Modèle glm pas nécessaire? => Karim

Le modèle linéaire semble valider toutes les hypothèses requises: -Normalité des résidus validée -Homoscédasticité des résidus validée

D’après le résumé du modèle, la longévité augmente de 0.56 années lorsque le poids augmente d’un kg (p value < 0.01). La poids semble donc avoir un impact sur la longévité et donc sur la fécondité totale puisque une augmentation de la longévité permet d’augmenter la fécondité totale.